Introducción a la Cristalografía y Sistemas Cristalinos
Por Mike y Darcy Howard

                     (Traducción al Español hecha por :Juan José Palafox Reyes; Universidad de Sonora, México)

                                                                         Parte 3: Sistema Cúbico (Isométrico)

Ahora que se ha visto los dos artículos previos, se puede comprender el primero de los 6 sistemas.

El SISTEMA ISOMÉTRICO-- tiene15 formas, todas cerradas, más que ningún otro sistema de los que se examinarán. Quizá se desee releer brevemente al primer artículo de esta serie, cuando se construyo la cruz axial, los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud y se cruzan en ángulos rectos entre si  . A los ejes se les denomina a1, a2, y a3. es necesario recordar que a3 es vertical, a2 es horizontal, y a1 es frontal al observador.

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3.1Las formas cristalinas de más alto grado de simetría son las del sistema isométrico. SIMETRÍA, cuando se compare  todos los sistemas cristalinos. ¿quién pensaría que hay un solo objeto en el universo geométrico con simetría perfecta? se considera a la esfera (fig. 3.1). Los infinitos planos de simetría que pasan a través del centro de la esfera, así como infinitos ejes rotacionales están presentes, no importa cuan pequeño o grande sea el giro siempre aparecen escenarios semejantes, una esfera es el non plus ultra  de la simetría.

Ningún sistema cristalino se aproxima al grado de simetría de la esfera , pero es rápidamente reconocible puesto que algunas de sus formas y combinaciones de formas  se aproximan a la esfericidad,  especialmente cuando las caras son curvadas, debido al alto grado de simetría en el sistema isométrico.

Observando la notación de Hermann-Mauguin para las primeras siete formas isométricas, tenemos, que cada forma tiene la siguiente notación :

Cubo {001}

Dodecaedro {011}

Trapezoedro {hhl}

Hexoctaedro {hkl}

Octaedro {111}

Tetrahexaedro {0kl}

Trisoctaedrov {hll}

 

Para estas formas, los tres ejes cristalográficos son ejes cuaternarios ( de rotación ). Este también  tiene cuatro ejes diagonales ternarios de roto-inversión que pasan a través del sólido en el punto en donde se interceptan las tres caras . Sin embargo, hay 6 direcciones de ejes de simetría binarios (en el centro de la línea formada por la intersección de dos planos). Existe también un centro de simetría. Hay 9 planos de simetría (ver figs. 1.5  y 1.6 en primer artículo en esta  serie). Dicha combinación de elementos de simetría define la más alta simetría posible en los cristales. Como  4/m-32/m. Según la notación de Hermann-Mauguin

En el texto, la notación se presenta como (-3) se presenta como un tres con un signo negativo debido a problemas con las computadoras y los navegadores en el web, Y no se pudo reemplazar este tipo de notación especial en el ciberespacio, se hace la aclaración para que el lector no sufra una confusión si consulta con un libro de mineralogía. Se pronuncia como 3 negativo o 3 barra  es la notación para el  eje ternario de roto-inversión. Se puede utilizar el signo  negativo donde considere necesario. Los mismos criterios que se utilizan en la notación para los índices de Miller, se utilizan para las notaciones de las formas generales.

Las formas de los grupos cristalográficos por su notación simétrica son considerados  siete, el primero con la misma simetría - 4/m-32/m.


3.2 CUBO—El cubo esta compuesto de 6 caras cuadradas formando ángulos de  90 grados entre ellos, cada cara esta interceptando a cada uno de los ejes cristalográficos (fig. 3.2). Esta forma, {001}, es una de las más fáciles a reconocer  y muchos  minerales lo presentan,  a veces con pequeñas modificaciones. ¡ejem. como la galena, pirita, fluorina, perovskita, o cubos de halita !

OCTAEDRO-- El octaedro es una forma compuesta de 8 triángulos equiláteros. Dichas caras en forma de3.3 triángulos interceptan a los tres ejes cristalográficos a la misma distancia, su forma de notación de {111} ( fig. 3.3) . Los  Minerales comúnmente exhiben la misma  forma octaédrica simple  como es el caso de la  magnetita, cromita, franklinita, espinela, pirocloro, cuprita, oro, y  diamante. En ocasiones la fluorina, pirita y galena toman esta forma.

DODECAEDRO (Dodecaedro Rómbico) – Esta forma esta compuesta  de 12 caras de forma rómbicas. Las caras de esta forma  interceptan dos de los ejes equidistantes y es paralelo al tercer eje, su notación es{011}.Las diferentes especies minerales del grupo del granate presentan muy comúnmente esta forma. La magnetita y la sodalita, en ocasiones exhiben esta forma.

3.5 3.6

TETRAHEXAEDRO—Esta forma tiene 24 caras triangulares isósceles. La manera más fácil de comprender esta forma es la visualización del cubo interprentando por otro cubo de caras iguales (fig. 3.5) que ha sido intercrecido desde el centro de la cara del cubo. Cada cara triangular tiene su base agregada al limite del cubo, y la cúspide de las cuatro caras triangulares permite observar un eje de simetría de orden cuaternario. Puesto que en la variación  de la inclinación del eje cuaternario, hay un numero determinado de posibles formas tetrahexahedrales, todas tienen la notación general {0hl}.

La forma más común es{012}. Esta está interceptando, en forma de levantamiento, cuando se combinan un conjunto de cuatro caras a lo largo del eje, esta forma se aproxima al dodecaedro. Conforme se acercan al origen, la forma se acerca al cubo. El tetrahexaedro es raramente una forma dominante en los cristales naturales, y esta estadísticamente subordinado al cubo, octaedro o dodecaedro (fig. 3.6). Los minerales del sistema cúbico como la fluorina (cubo o tetrahexaedro), magnetita o cobre (octaedro y tetraexaedro) y el granate (dodecaedro y tetrahexaedro) pueden exhibir en ocasiones esta forma.

3.7 3.8

TRAPEZOEDRO (Tetragon-trioctaedro) –Esta forma tiene 24 caras similares a la forma de un trapezoedro. Si mi sitio en la red está  correcto, un trapezoedro tiene un conjunto de cuatro caras planas no paralelas. Dichas  caras se interceptan en el eje cristalográfico a una distancia considerada como la unidad y  a los otros dos ejes a distancias iguales, dichas distancias podrían ser mas grandes que la unidad. Esto suena un poco complicado, pero viendo el dibujo es más comprensible (fig. 3.7).  Puesto que hay varias distancias de intercepción en los dos ejes  el símbolo general {hhl} es muy común utilizarlo. La forma mineral más común es {112} .  Los dos silicatos más comunes que cristalizan como trapezoedros son la analcima y la leucita. Esta forma es poco conocida y varia desde dominante a subordinada en el caso de las variedades del  granate, donde se le observa combinada con el dodecaedro (fig. 3.8) .

3.9 TRISOCTAEDRO (Trigonal Trisoctaedro ) – Esta es otra forma de 24 caras, pero las caras son triángulos isósceles, cada cara intersecta dos ejes cristalográficos, y el tercer eje en algún múltiplo de la unidad; por lo que su notación general es {hll}.

Para visualizar mejor un trisoctaedro, es mejor pensar en un octaedro. Cada cara octaédrica esta dividida en tres triángulos isósceles, dibujando tres líneas desde el centro de la cara octaédrica  y alcanzando las tres esquinas de cada cara, repitiendo la misma operación en las otras siete caras del octaedro usted tiene el  trisoctaedro (fig. 3.9). Como una forma dominante, el trisoctaedro  es poco comúnse presenta  más comúnmente en  el diamante y como forma subordinada (fig. 3.10).

Recientemente se ha demostrado que el diamante trisoctaedrico, probablemente no sea un  verdadero cristal 3.12 sino un intercrecimiento de formas cristalinas, ¡pero si  en cambio una forma de la solución causada por la disolución diferencial del diamante octaédrico durante su transporte del manto a la corteza, pero eso corresponde a otro curso. Cuando una forma subordinada ha sido reportada, es en  combinación con el octaedro en los casos de la fluorina y la magnetita y en  combinación con el cubo y el octaedro, los cristales complejos de galena.


3.11 HEXOCTAEDRO—Esta es una forma de 48 caras triangulares, seis caras parecen estar levantadas de cada cara  de un simple octaedro. Estas podrían visualizarse dibujando una línea desde el centro de cada uno de los bordes de una cara octaédrica a través de una cara central a la esquina opuesta. Repitiendo este mecanismo para las otras 7 caras  de un octaedro, se puede construir el hexoctaedro (fig. 3.11).

 

Simplemente como la forma trisoctaedral , esta forma se ve más a menudo en el diamante por lo que se3.12 piensa que representa una forma derivada de un octaedro, la verdadera cristalización. Con ambos los tris - y hexoctaedros, las caras se encorvan a menudo, produciendo una forma casi esférica. La combinación del dodecaedro dominante y el hexoctaedro subordinado es común en el granate (fig. 3.12).


Tenemos las 8 formas restantes del sistema cúbico a considerar. Las siguientes 4 tienen la notación de Hermann-Mauguin de   -43m. Estas son el tetraedro, tristetraedro, dodecaedro deltoide y hextetraedro.

 

3.13 TETRAEDRO-- El tetraedro incluye formas positivas y negativas con la notación{111} y {1-11}, respectivamente. Estas son simples imágenes espejo, uno de otro. Un  tetraedro es una forma de cuatro caras, cada cara en principio es un triangulo equilátero.

Cada cara intersecta  a los tres ejes cristalográficos  a la misma distancia. Se puede derivar esta forma desde un octaedro extendiendo caras alternadas (esto también se incluye en el conjunto contrario de caras alternadas hasta que ellas desaparezcan).

3.14En la figura 3.13  se despliega la orientación de una forma tetraedral en relación al cubo. No se especula que las dos formas , tanto positiva como negativa existan porque siempre se encuentran juntas (fig. 3.14) ¡en un solo cristal!

Si las formas positiva y negativa tienen el mismo tamaño en un cristal individual y la apariencia inicial de la  forma cristalina es INDISTINGUIBLE desde un octaedro. Aquí es donde  la diferencia  en la orientación de la superficie es muy importante para el estudio de la forma. Un mineral  que comúnmente presenta esta forma ha sido denominada tetraedrita. Otros ejemplos son el diamante, helvita y esfalerita.

3.15 TRISTETRAEDRO—Con los ejemplos anteriores se puede derivar esta forma. Ahora, tomar un tetraedro y levantar 3 triángulos isósceles  y formar las caras en cada una de las 4 caras del tetraedro. Así es como esta forma tiene 12 caras triangulares (fig. 3.15).

En el tetraedo hay formas positivas y negativas como el tetraedro, designadas como { hhl} y {h-hl}, respectivamente. Ésta es sólo una forma relativamente común en la tetraedrita, normalmente subordinada al tetraedro (el fig. 3.16), pero también se ha reportado en la esfalerita y la boracita. La posibilidad de que este presente en el diamante no puede pasarse por alto, pero como se ha mencionado, puede ser el resultado de procesos de la disolución, en lugar de cristalización.


3.16En el tetraedro hay formas positivas y negativas como el tetraedro, designadas {hhl} y {h-hl}, respectivamente. Ésta es sólo una forma relativamente común en la tetraedrita, normalmente subordinada al tetraedro (fig. 3.16), pero también se ha reportado en la esfalerita y la boracita. La posibilidad de que este presente en el diamante no puede pasarse por alto, pero como se ha mencionado, puede ser el resultado de procesos de la disolución, en lugar de cristalización.
3.17HEXTETRAEDRO--  De nuevo, se toma un tetraedro y, de la manera similar como el hexoctaedro, se levantan 6 caras triangulares que tienen un ápice común en el centro de la cara triangular equilátera del tetraedro. Repitiendo esto en el tetraedro completo resultando las  24 caras (el fig. 3.17). Hay formas positivas y  negativas, se designan como {hkl} y {h-kl}, respectivamente. Esta forma se ha reportado en la tetraedrita, y raramente en la esfalerita. También una posible forma de la solución del diamante

3.18DELTOIDE DODECAEDRO—Éste es una forma de 12 caras están en las caras adelante a cada uno de la cara de un tetraedro (el fig. 3.18). La forma de las caras resultante es  rómbica. Hay formas positivas y  negativas, designadas como {hll} y {h-ll}, respectivamente. Esta forma a veces se ve como  subordinada  a la tetraedrita o esfalerita dónde aparecería como un conjunto de 3 caras rómbicas modificando las esquinas de la forma tetraédrico dominante.

Ahora ahora se tienen sólo 4 formas restantes para discutir, del sistema isométrico. El primero a considerar es el giroide.

3.19GIROIDE (Pentagono-trioctaedro)—¡Esta forma no tiene centro de simetría¡. La notación de Hermann-Mauguin es 432. Hay dos formas basadas en simetría de mano izquierda-mano derecha (fig. 3.19) . Los viejos libros mencionan que esta es una forma rara a veces reportadas en la cuprita. Pero libros más recientes indican que en un estudio cristalográfico de la cuprita, esta se muestra como una posible forma hexoctaedrica. Si esto es así, entonces no se tiene ningún mineral natural que cristalice en esta forma, aunque hay laboratorios en donde los cristales crecidos con esta forma han sido reconocidos.

 Dos de las 3 formas restantes tienen ejes de rotación 3 2, y tienen ejes de rotoinversión 4 3, y tres planos axiales de simetría. La notación de Hermann-Mauguin es de 2/m-3. Estas formas consisten en el piritoedro y el diploide.

3.20PIRITOEDRO (Pentagonal dodecaedro)-- Hay 12 caras pentagonales cada una de las cuales cortan en la unidad a un eje cristalográfico y cortan un segundo eje en algún múltiple de unidad, y el otro paralelo al tercer eje. Hay formas positivas y negativas, que se le designan como {h0l} y {0kl}, respectivamente. Hay  varias formas piritoedricas, debido al grado de inclinación de las caras. La forma más común es el {102}, la forma positiva ( fig. 3.20) . La Pirita es el único mineral común que presenta esta forma. Es a menudo subordinada,  combinada con el cubo, diploide (debajo), u octaedro.

3.21DIPLOIDE (Didodecaedro)-- Hay 24 caras (el fig. 3.21), cada cara que corresponde a la mitad de las caras de un hexoctaedro. Ésta es una forma rara. Se debe comparar las figuras 3.20 y 3.21. El diploide se parece un piritoedro dónde dos caras  se forman de cada cara pentagonal del piritoedro. Las caras resultantes son los trapezoides. Hay formas positivas y negativas, designadas como {hkl} y {khl}, respectivamente. La pirita es el único mineral común que exhibe la forma del diploide
 

¡Se ha llegado a la última forma de los minerales isométricos! ¡Si todavía se está a estas alturas (mentalmente y físicamente), entonces se considera que 1) se tiene poco quehacer hoy para tener el tiempo suficiente y leer este artículo entero, 2) se está haciendo esto para evitar el  comienzo de un proyecto mayor, 3) se tiene un problema de salud mental y necesita un consejero, ó 4) se tiene la seriedad para aprender más acerca de la Cristalografía! Así, se escogera esta última forma, el tetartoide y terminamos todo. 

3.22 TETARTOIDE (Pentagono-Tritetraedro)—La notación de Hermann-Mauguin  23. esto es, 3 ejes de rotación binarios que coinciden con los ejes cristalográficos y 4 ejes diagonales ternarios de simetría rotacional.  Hay 4 formas separadas en esta clase: derecho positivo {hkl}, izquierdo negativo {khl}, derecho negativo{k-hl}, e izquierdo negativo {h-kl}. Ver figura 3.22 Para la forma positiva. Cobaltita, un mineral desconocido que cristaliza en esta forma. El  tetartoide puede presentarse en forma subordinada en combinación con el cubo, dodecaedro, piritoedro, tetraedro, y dodecaedro y deltoide.

¿Se recuerda el naturalista Steno del 16 siglo? Se mencionó en el artículo introductorio. Bien, se tiene información que él es el cristalográfo que más ha aportado sobre los cristales isométricos y los ángulos interfaciales de algunos de las diferentes formas. Esta información podría ayudar cuando se este considerando qué las formas comunes que se observan tienen presente complejos cristales isométricos.

golden axial cross golden axial cross¡BIEN! Si se ha comprendido o no, se ha consumido la discusión más larga de formas de cristales de manera simple en esta serie. ¡Por consiguiente, yo le otorgo humildemente a usted la Orden de la Cruz Axial Dorada! Habrá otros premios y palmadas para la vitalidad, perseverancia, tenacidad y dedicación con la que usted ha procedido en su estudio de cristalografía geométrica. ¡Ahora si usted está sintiendo un pedazo demasiado esférico, después de digerir todo el sistema isométrico, ¡verta algo de simetría ejerciendo nuestros poderes mentales en algunas formas de simetría más simples en el próximo artículo!


Parte 4:Sistema Tetragonal

Índice de Cristalografía  y Sistemas cristalinos

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